贪心算法之区间调度问题

贪心算法之区间调度问题

读完本文，你不仅学会了算法套路，还可以顺便解决如下题目：

LeetCode 力扣 难度
435. Non-overlapping Intervalsopen in new window 435. 无重叠区间open in new window 🟠
452. Minimum Number of Arrows to Burst Balloonsopen in new window 452. 用最少数量的箭引爆气球open in new window 🟠

什么是贪心算法呢？贪心算法可以认为是动态规划算法的一个特例，相比动态规划，使用贪心算法需要满足更多的条件（贪心选择性质），但是效率比动态规划要高。

比如说一个算法问题使用暴力解法需要指数级时间，如果能使用动态规划消除重叠子问题，就可以降到多项式级别的时间，如果满足贪心选择性质，那么可以进一步降低时间复杂度，达到线性级别的。

什么是贪心选择性质呢，简单说就是：每一步都做出一个局部最优的选择，最终的结果就是全局最优。注意哦，这是一种特殊性质，其实只有一部分问题拥有这个性质。

比如你面前放着 100 张人民币，你只能拿十张，怎么才能拿最多的面额？显然每次选择剩下钞票中面值最大的一张，最后你的选择一定是最优的。

然而，大部分问题明显不具有贪心选择性质。比如打斗地主，对手出对儿三，按照贪心策略，你应该出尽可能小的牌刚好压制住对方，但现实情况我们甚至可能会出王炸。这种情况就不能用贪心算法，而得使用动态规划解决，参见前文 动态规划解决博弈问题。

#一、问题概述

言归正传，本文解决一个很经典的贪心算法问题 Interval Scheduling（区间调度问题），也就是力扣第 435 题「无重叠区间open in new window」：

给你很多形如 [start, end] 的闭区间，请你设计一个算法，算出这些区间中最多有几个互不相交的区间。

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int intervalSchedule(int[][] intvs);

举个例子，intvs = [[1,3], [2,4], [3,6]]，这些区间最多有 2 个区间互不相交，即 [[1,3], [3,6]]，你的算法应该返回 2。注意边界相同并不算相交。

这个问题在生活中的应用广泛，比如你今天有好几个活动，每个活动都可以用区间 [start, end] 表示开始和结束的时间，请问你今天最多能参加几个活动呢？显然你一个人不能同时参加两个活动，所以说这个问题就是求这些时间区间的最大不相交子集。

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#二、贪心解法

这个问题有许多看起来不错的贪心思路，却都不能得到正确答案。比如说：

也许我们可以每次选择可选区间中开始最早的那个？但是可能存在某些区间开始很早，但是很长，使得我们错误地错过了一些短的区间。或者我们每次选择可选区间中最短的那个？或者选择出现冲突最少的那个区间？这些方案都能很容易举出反例，不是正确的方案。

正确的思路其实很简单，可以分为以下三步：

1、从区间集合 intvs 中选择一个区间 x，这个 x 是在当前所有区间中结束最早的（end 最小）。

2、把所有与 x 区间相交的区间从区间集合 intvs 中删除。

3、重复步骤 1 和 2，直到 intvs 为空为止。之前选出的那些 x 就是最大不相交子集。

把这个思路实现成算法的话，可以按每个区间的 end 数值升序排序，因为这样处理之后实现步骤 1 和步骤 2 都方便很多，如下 GIF 所示：

img

现在来实现算法，对于步骤 1，由于我们预先按照 end 排了序，所以选择 x 是很容易的。关键在于，如何去除与 x 相交的区间，选择下一轮循环的 x 呢？

由于我们事先排了序，不难发现所有与 x 相交的区间必然会与 x 的 end 相交；如果一个区间不想与 x 的 end 相交，它的 start 必须要大于（或等于）x 的 end：

img

看下代码：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

public int intervalSchedule(int[][] intvs) {
    if (intvs.length == 0) return 0;
    // 按 end 升序排序
    Arrays.sort(intvs, new Comparator<int[]>() {
        public int compare(int[] a, int[] b) {
            return a[1] - b[1];
        }
    });
    // 至少有一个区间不相交
    int count = 1;
    // 排序后，第一个区间就是 x
    int x_end = intvs[0][1];
    for (int[] interval : intvs) {
        int start = interval[0];
        if (start >= x_end) {
            // 找到下一个选择的区间了
            count++;
            x_end = interval[1];
        }
    }
    return count;
}

#三、应用举例

下面再举例几道具体的题目应用一下区间调度算法。

首先是力扣第 435 题「无重叠区间open in new window」问题：

输入一个区间的集合，请你计算，要想使其中的区间都互不重叠，至少需要移除几个区间？函数签名如下：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int eraseOverlapIntervals(int[][] intvs);

其中，可以假设输入的区间的终点总是大于起点，另外边界相等的区间只算接触，但并不算相互重叠。

比如说输入是 intvs = [[1,2],[2,3],[3,4],[1,3]]，算法返回 1，因为只要移除 [1,3] 后，剩下的区间就没有重叠了。

我们已经会求最多有几个区间不会重叠了，那么剩下的不就是至少需要去除的区间吗？

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int eraseOverlapIntervals(int[][] intervals) {
    int n = intervals.length;
    return n - intervalSchedule(intervals);
}
🍭 代码可视化动画 🍭

再说说力扣第 452 题「用最少的箭头射爆气球open in new window」，我来描述一下题目：

假设在二维平面上有很多圆形的气球，这些圆形投影到 x 轴上会形成一个个区间对吧。那么给你输入这些区间，你沿着 x 轴前进，可以垂直向上射箭，请问你至少要射几箭才能把这些气球全部射爆呢？

函数签名如下：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int findMinArrowShots(int[][] intvs);

比如说输入为 [[10,16],[2,8],[1,6],[7,12]]，算法应该返回 2，因为我们可以在 x 为 6 的地方射一箭，射爆 [2,8] 和 [1,6] 两个气球，然后在 x 为 10，11 或 12 的地方射一箭，射爆 [10,16] 和 [7,12] 两个气球。

其实稍微思考一下，这个问题和区间调度算法一模一样！如果最多有 n 个不重叠的区间，那么就至少需要 n 个箭头穿透所有区间：

img

只是有一点不一样，在 intervalSchedule 算法中，如果两个区间的边界触碰，不算重叠；而按照这道题目的描述，箭头如果碰到气球的边界气球也会爆炸，所以说相当于区间的边界触碰也算重叠：

img

所以只要将之前的算法稍作修改，就是这道题目的答案：

java 🟢cpp 🤖python 🤖go 🤖javascript 🤖

int findMinArrowShots(int[][] intvs) {
    // ...

    for (int[] interval : intvs) {
        int start = interval[0];
        // 把 >= 改成 > 就行了
        if (start > x_end) {
            count++;
            x_end = interval[1];
        }
    }
    return count;
}
👾 代码可视化动画 👾

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